\section{Planteamiento y Soluci\'on del Problema}
\label{sec:Problema}
Como ya se menciono la esfera es la entidad geom\'etrica m\'as sencilla y por esta
raz\'on en muchos casos un problema puede ser resuelto cuando se simplifica su
representaci\'on a solo esferas (o c\'irculos para el caso 2D). Tambi\'en resulta
claro que cuando el problema incluye geometr\'ias complejas una representaci\'on de
este tipo puede tener falencias importantes en cuanto a precisi\'on se refiere.
En la figura \ref{fig:Human} se presenta un ejemplo de un modelo de esferas
para el cuerpo humano conformado por 310 entidades, 19 articulaciones y 20
segmentos del cuerpo \cite{Badler1979}.
\begin{figure}[htbp] %figure placement: here, top, bottom, or page
   \centering
   \includegraphics[scale=0.4]{Sphere_Human.png}
   \caption{Modelo del cuerpo humano mediante esferas (Proyectadas como
   c\'irculos) \cite{Badler1979}.}
   \label{fig:Human} 
\end{figure}
Dos de los aspectos por los cuales la esfera es tan sencilla son: Primero, la
esfera puede describirse perfectamente con un solo par\'ametro, principalmente su
radio; segundo, el movimiento de la esfera puede describirse por el movimiento
de solo un punto, principalmente su centro. Adem\'as la esfera, por su propia
naturaleza, es el \'unico cuerpo que tiene tres grados de libertad (DoF por sus
siglas en ingles) en 3D, y solo se ve afectada por translaciones.

\subsection{La Representaci\'on Esf\'erica}
\label{subsec:Representacion}
Teniendo en cuenta lo expuesto, los autores proponen
un modelo de representaci\'on esf\'erica doble.
\begin{enumerate}
  \item Representaci\'on Exterior: Tiene la caracter\'istica de inscribir todas las
  fronteras de todos los objetos.
  \item Representaci\'on Interior: Cada una de las esferas interiores debe estar
  contenida en uno de los objetos que esta siendo representado.
\end{enumerate}
% Es importante indicar que la propuesta del art\'iculo tiene como objetivo definir
% un modelo de representaci\'on capaz de ajustar su precisi\'on utilizando tantas
% esferas como sea necesario para obtener el nivel de detalle deseado, ya sea
% para la representaci\'on exterior o interior. Es en este punto donde la noci\'on de
% jerarqu\'ia de los objetos juega un papel importante ya que de manera heur\'istica
% permite incrementar la cantidad de esferas tanto como sea necesario.
Para cada una de las representaciones se establece que deben tener ciertas
propiedades. Primero deben ser mejorables, es decir una mejor representaci\'on
puede ser definida incluyendo m\'as esferas. Segundo, la representaci\'on debe ser
balanceada, es decir, el error se debe distribuir uniformemente a lo largo del
modelo y no acumularse alrededor de alguna zona. Finalmente la representaci\'on
debe ser \'optima, es decir que no es posible obtener otra mejor con la misma
cantidad de esferas.

\subsection{Aplicaci\'on en la Detecci\'on de Intersecciones}
\label{subsec:intersecciones}
Un aspecto interesante del m\'etodo propuesto es que ha sido dise\~nado de tal modo
que el numero de esferas involucradas en la representaci\'on se minimiza tanto
como es posible. En general, para detectar una intersecci\'on entre dos objetos $B$ y
$C$ usando dos grupos de esferas para representar cada objeto, 3 casos deben ser
considerados:
\begin{enumerate}
  \item $S^{E}B\cap S^{E}C=\emptyset$.
  \item $S^{I}B\cap S^{I}C \neq \emptyset$.
  \item $S^{E}B\cap S^{E}C \neq \emptyset$ and $S^{I}B\cap S^{I}C \neq
  \emptyset$.
\end{enumerate}
Donde $S^{E}$ corresponde a la regi\'on contenida en la representaci\'on
exterior y $S^{I}$ en la interior.
En el primer caso los dos objetos no se interceptan; en el segundo si hay
intersecci\'on. Es en el tercer caso se presenta una indeterminaci\'on. Para
resolver este problema los autores proponen una estrategia heur\'istica con la que
se decide cual de las representaciones debe ser mejorada (exterior o interior).
Es en esta estrategia donde aparece lo novedoso del art\'iculo ya que al aumentar el
nivel de representaci\'on el algoritmo elimina la indeterminaci\'on.

\subsection{Aplicaci\'on en la Detecci\'on de Colisiones}
\label{subsec:colisiones}
Utilizando el esquema de detecci\'on de intersecciones expuesto, los autores
proponen un m\'etodo para determinar si un movimiento finito libre de colisiones
puede ser obtenido.
Inicialmente se simplifica el problema suponiendo que solo uno de los dos
objetos esta en movimiento (un robot manipulador) mientras el otro
permanece est\'atico (obst\'aculo) y de esta manera el problema se reduce a calcular
las distancias entre dos puntos definidos. En general si se toma un punto
$C_{1}$ correspondiente al centro de una esfera del robot manipulador y otro
punto $C_{2}$ correspondiente el centro de la esfera est\'atica se puede afirmar
que si una distancia m\'inima $D$  es mayor que la suma de sus radios ($D>R_{1}+R_{2}$),
entonces no hay intersecci\'on entre este par de esferas durante el movimiento.
Por el contrario si $D<R_{1}+R_{2}$ es un hecho que hay una colisi\'on entre las dos
esferas, en cuyo caso se calculan los limites de movimiento libre de colisi\'on,
lo cual es una tarea f\'acil.
Seg\'un los autores este modelo se caracteriza en que el numero de c\'alculos es
reducido a los estrictamente necesarios.

